miércoles, octubre 04, 2006

Atando la Tierra


Hoy os voy a proponer un curioso problema matemático que he leído hoy.


Supongamos que la Tierra es perfectamente esférica y lisa, y que tenemos una cuerda lo suficientemente larga como para rodear a la Tierra por el Ecuador, a nivel del suelo. Si quisiéramos rodearla igualmente por el Ecuador, pero a 1 metro de altura, ¿qué longitud habría que añadirle a la cuerda?


EDITADO: Teneis la solución en los comentarios gracias a Dardo.

3 comentarios:

dardo dijo...

Bueno, en éste caso al respuesta es muy fácil. Estaba esperando hber si alguien contestaba, pero parece que solo te leo yo.

Si tenemos que la circunferencia de la Tierra es:

Rt = 2π·Rt

donde Rt es el radio que estemos considerando

tenemos que el perímetro de la circunferencia a un metro del ecuador, por el exterior de la Tierra es:

R = 2π·(Rt+1)

Sustituyendo en ambas fórmulas tenemos que

Rt = 2π·6,378·10^6 = 40074155889 m

y

R = 2π·6,378·(10^6+1) = 40074155895 m

Evidentemente estas distancias no son redondas, tienen cifras decimales, que trunco por claridad, aunque a costa de precisión.

Reamente no importa mucho ésta cifra, sino las conclusiones.

R - Rt = 6 m

Ésto quiere decir que si nos alejamos un metrode la tierra y trazamos una circunferencia concentrica a la del ecuador, su longitud será seis metros mayor.

En realidad más grande, ya que la circunferencia mayor, tenia una candidad la he redondeado hacia abajo casi medio metro, y el ecuador lo he redondeado tambien hacia abajo, pero solo unso 15 centímetros.

Bueno, yo creo que queda resuelta la cuestión.

WinterN dijo...

Muy buena respuesta. :)

Para ser exactos, habría que añadir 2π, unos 6,283 metros.

Si hicieramos lo mismo con la Luna, con el Sol o con un balón, la cantidad a añadir sería la misma. Esto es porque el incremento del perímetro sólo depende de la variación del diametro:

Situación inicial: L₁ = 2πR₁

Situación final: L₂ = 2πR₂

Variación: L₂-L₁ = 2π(R₂-R₁)
o bien: ∆L = 2π(∆R)

Siendo L la longitud de la cuerda y R el radio de la tierra. Lo que queremos hallar realmente es la variación el la longitud de la cuerda ∆L, que depende únicamente de la variación del radio ∆R (2π es constante). De esta forma, para ∆R = 1m, tenemos que la logitud de la cuerda aumenta 2π metros.

dardo dijo...

Pues eso, los 6 y π-co. Chiste malo.